fisika komputasi

BISECTION METHOD (Metode Biseksi)

    A. MASALAH
Permasalahan dalam penulisan laporan ini adalah menentukan nilai akar dari persamaan
f(x)=x-cos(x) dengan menggunakan metode biseksi (bisection method) melalui program Dev-C++.

    B. METODE
Metode yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan di atas adalah menggunakan metode komputasi dengan cara bisection method (metode biseksi) melalui program Dev-C++.

    C. HASIL
Penyelesaian dari permasalahan di atas dengan menggunakan metode biseksi (bisection method) Dev-C++ adalah sebagai berikut :

/*
 *  bisection.h
 * 
 *
 *  Created by Lusiani; 03/03/2012
 *  Tugas Fisika Komputasi __PPS UNY__. All rights reserved.
 *
 */

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

#define MAXITER 20
#define EPS 1.0e-10        //define accuracy of convergence
s
//define the f(x) function
  double f(double x)
{
    return (x-cos(x));
}
/**/

/* subroutine bisection method*/
double bisect(double a,double b)
{
    int n;
    double c;
   
    for(n = 0;n < MAXITER; n++)
{
 c = (a+b)/2.0;
      if(abs(f(c))<EPS)   break if solution becomes close to the convergence point(root)
     if(f(a)*f(c)<0.0)    b = c;
     else a=c;
}
    return c;
}

int main()
{
    double a,b,root;
   
    cout<<"Enter 2 starting values : "<<endl;
    //define the two starting points
    cout << "A : ";
    cin >> a;
    cout << "B : ";
    cin >> b;
   
    root = bisect(a,b);
   
    cout<<"Root is at : " << root << endl;
    for(;;);
    return 0;
}

Dengan memasukkan nilai A=0 dan B=π⁄4=3,14⁄4
Maka, diperoleh root (hasil) = 0,739085s

    D. PEMBAHASAN
Metode biseksi disebut juga metode pembagian interval atau metode yang digunakan untuk mencari akar-akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi. Metode biseksi adalah membagi range menjadi 2 bagian. Dari dua bagian yang mengandung dan yang tidak mengandung akar dibuang. Metode biseksi lebih mudah dalam pembuatan programnya, namun dalam pencarian akar pendekatannya lebih lama. Metode biseksi merupakan salah satu metode tertutup untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linear, dengan prinsip utama sebagai berikut :
    Menggunakan dua buah nilai awal untuk mengurung salah satu / lebih akar persamaan non liner.
    Nilai akarnya diduga melalui nilai tengah antara dua nilai awal yang ada.
Penyelesaian secara numerik dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah penyelesaian permasalahan mencari akar persamaan f(x)=x-cos(x) melalui metode komputasi dengan bisection method (metode biseksi) antara lain:
    Menentukan sebuah interval berdasarkan perkiraan dimana akar dari persamaan  f(x)=x-cos(x)   berada.
Berdasarkan persamaan tersebut, maka secara grafik dijelaskan bahwa interval tersebut berada pada〖   x〗_1=0  dan  〖   x〗_2=π⁄2
    Memperbaiki interval pada langkah pertama di atas dengan membagi dua (2) interval tersebut. Nilai tengah yang diperoleh adalah perkiraan pertama dari nilai akar yang dicari.
Nilai tengah (m) dari interval 〖   x〗_1=0  dan〖   x〗_2=π⁄2 adalah  (0+ π/2)/2  =  π⁄4
    Mengambil bagian interval yang mengandung akar yang dicari.
Setelah memperoleh nilai tengah m, maka interval tersebut dibagi menjadi dua bagian interval yaitu 〖   x〗_1=0 sampai m =π⁄4  dan m = π⁄4 sampai 〖   x〗_2=π⁄2.
Akar yang sebenarnya akan berada pada interval yang memenuhi persamaan f(x).f(m)≤0. sesuai dengan asumsi ini, maka diperoleh bahwa akar persamaan  f(x)=x-cos(x) berada pada interval 0 - π⁄4.
    Ulangi langkah kedua dan ketiga hingga diperoleh akar dengan keakuratan yang diinginkan.
Untuk mendapatkan keakuratan akar yang akan diperoleh maka perlu dilakukan pengulangan berkali-kali sehingga digunakanlah metode komputasi untuk mempersingkat waktu perhitungan yang berulang tersebut melalui program Dev-C++.
Dalam perhitungan dengan metode komputasi ini dilakukan pengulangan langkah kedua dan ketiga (looping) sebanyak 20 kali (MAXITER 20), dengan ralat yang digunakan adalah 1,0x10-10(EPS 1.0e-10). Proses looping akan dihentikan, tergantung keakuratan yang diinginkan / disesuaikan dengan ralat atau error yang diinginkan.

    E. KESIMPULAN

Menggunakan metode komputasi bisection method, dapat disimpulkan bahwa dengan memasukkan nilai A=0 dan B=π⁄4=3,14⁄4  , maka diperoleh root (hasil) = 0,739085s dari persamaan f(x)=x-cos(x).